Question

19．下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上也單調(diào)遞增，所以f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）=ax²+bx+2與x軸沒有交點(diǎn)，則b²-8a＜0；
（3）符合條件{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A有4個(gè)；
（4）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$有3個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號是（3）（4）．

Answer 1

分析 舉例說明（1）（2）錯(cuò)誤；求出滿足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A判斷（3）；
要求f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只要分別判斷函數(shù)h（x）=lnx-x²+2x（x＞0），與g（x）=4x+1（x≤0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求和即可．

解答 解：對于（1），函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上也單調(diào)遞增，但f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上不一定是增函數(shù)，
如f（x）=-$\frac{1}{x}$，故（1）錯(cuò)誤；
對于（2），當(dāng)a=b=0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+bx+2=2，與x軸沒有交點(diǎn)，b²-8a=0，故（2）錯(cuò)誤；
對于（3），符合條件{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A有{1}，{1，2}，
{1，3}，{1，2，3}共4個(gè)，故（3）正確；
對于（4），由f（x）=0可得lnx-x²+2x=0（x＞0），或4x+1=0（x≤0）．
由4x+1=0得x=-$\frac{1}{4}$，故g（x）=4x+1（x≤0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
由lnx-x²+2x=0得lnx=x²-2x，令y=lnx，y=x²-2x（x＞0），
作出函數(shù)y=lnx，y=x²-2x（x＞0）的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，y=lnx，y=x²-2x（x＞0）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，故（4）正確．
故答案為：（3）（4）．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，是中檔題．