Question

1．在△ABC中，∠B=45°，D是邊BC上一點，AD=5，CD=3，AC=7．
（1）求∠ADC的值；
（2）求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DA}$的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理結合已知可求cos∠ADC的值，結合范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解∠ADC的值．
（2）由正弦定理可求AB，利用平面向量數(shù)量積的運算可求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DA}$的值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）在△ADC中，由余弦定理得：AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=AC²．
把AD=5，CD=3，AC=7代入上式得$cos∠ADC=-\frac{1}{2}$．
因為0＜∠ADC＜π，所以∠ADC=$\frac{2π}{3}$．…（7分）
（2）在△ADC中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠ABD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$．
故$AB=\frac{AD}{sin∠ABD}×sin∠ADB=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}$．
所以$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DA}=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}×5×cos{75°}=\frac{{25（3-\sqrt{3}）}}{4}$…（14分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量數(shù)量積的運算，特殊角的三角函數(shù)值的應用，考查了計算能力，屬于中檔題．