Question

【題目】設(shè)實(shí)數(shù)λ＞0，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣ ≥0恒成立，則λ的最小值為（　�。�
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：實(shí)數(shù)λ＞0，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣ ≥0恒成立，

即為（eλx﹣ ）min≥0，設(shè)f（x）=eλx﹣ ，x＞0，f′（x）=λeλx﹣ ，

令f′（x）=0，可得eλx= ，由指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)在第一象限的圖象，可得y=eλx和y= 有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)為（m，n），當(dāng)x＞m時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x＜m時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（x）在x=m處取得極小值，且為最小值．

即有eλm= ，令eλm﹣ =0，可得m=e，λ= ．則當(dāng)λ≥ 時(shí)，不等式eλx﹣ ≥0恒成立．則λ的最小值為 ．

另解：由于y=eλx與y= 互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，考慮極限情況，y=x恰為這兩個(gè)函數(shù)的公切線，此時(shí)斜率k=1，再用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率的表達(dá)式為k= ，即可得λ的最小值為 ．

故答案選：A．

本題考查的是利用求導(dǎo)解決函數(shù)最值的問題，設(shè)f（x）=eλx﹣ l n x λ ，x＞0，f′（x）=λeλx﹣ 1 λ x ，令f′（x）=0，可得eλx= ，由指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)在第一象限的圖象，可得y=eλx和y= 有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為（m，n），當(dāng)x＞m時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)0＜x＜m時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（x）在x=m處取得極小值，且為最小值．即有eλm= ，令eλm﹣ =0，可得m=e，λ= ．則當(dāng)λ≥ 時(shí)，不等式eλx﹣ ≥0恒成立．則λ的最小值為 ．