Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）+$\sqrt{3}$cos2x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{8}{5}$，求cos（2α-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由題意可得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，由二倍角公式和誘導(dǎo)公式可得．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）+$\sqrt{3}$cos2x-1
=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）+$\sqrt{3}$cos2x-1
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（2α+$\frac{2π}{3}$）=1-2sin²（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α-$\frac{π}{3}$）=cos（2α+$\frac{2π}{3}$-π）=-cos（2α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{7}{25}$

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和二倍角公式，屬中檔題．