【題目】已知橢圓C:的離心率為,且過點(diǎn).
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N試問:在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
由橢圓C:的離心率為,且過點(diǎn),列方程給,求出,,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),設(shè)直線l的方程為,由,得,由此利用韋達(dá)定理、直線的斜率,結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn),使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1.
橢圓C:的離心率為,且過點(diǎn).
,解得,,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),
當(dāng)直線l與x軸垂直時,它與橢圓只有一個交點(diǎn),不滿足題意,
直線l的斜率k存在,設(shè)直線l的方程為,
由,得,
設(shè),,
則,,
,
要使對任意實(shí)數(shù)k,為定值,則只有,
此時,,
在x軸上存在點(diǎn),使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個如圖所示的圖案,圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比;
(2)假設(shè)球半徑.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)在軸上,過點(diǎn)的直線交橢圓交于,兩點(diǎn).
①若直線的斜率為,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②設(shè)直線,,的斜率分別為,,,是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后,某學(xué)生得出下列四個結(jié)論:
①BD⊥AC;
②△BAC是等邊三角形;
③三棱錐D-ABC是正三棱錐;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是( )
A.①②④B.①②③
C.②③④D.①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,為常數(shù).
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)相互垂直的直線,分別過橢圓的左、右焦點(diǎn),,且與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、.
(1)當(dāng)的傾斜角為時,求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:過點(diǎn)與點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線過定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在,兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍及面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列命題,其中正確命題的個數(shù)為
①當(dāng)時,上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,存在不相等的兩個實(shí)數(shù),使;
③當(dāng)時,有3個零點(diǎn).
A. 3B. 2C. 1D. 0
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