Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{3{x}^{2}}{{x}^{2}+3}}$，數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)由x_n=f（x_n-1）（n≥2，且n∈N^*）確定．
（1）求證：{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)x₁=$\frac{1}{25}$時，求x₂₀₁₄．

Answer 1

分析 （1）通過x_n+1=$\sqrt{\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}}$可知${{x}_{n+1}}^{2}$=$\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}$，對等式兩邊同時取倒數(shù)可知$\frac{1}{{{x}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$，進(jìn)而數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列；
（2）通過（1）可知數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}的公差為$\frac{1}{3}$，通過x₁=$\frac{1}{25}$可知首項(xiàng)$\frac{1}{{{x}_{2014}}^{2}}$=1296，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，x_n+1=$\sqrt{\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}}$，
∴${{x}_{n+1}}^{2}$=$\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}+3}{3{{x}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}的公差為$\frac{1}{3}$，
又∵x₁=$\frac{1}{25}$時，
∴$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$=625，
∴$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$=625+$\frac{1}{3}$（n-1）=625+$\frac{n-1}{3}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{2014}}^{2}}$=625+$\frac{2014-1}{3}$=625+671=1296，
∴x₂₀₁₄=$\frac{1}{\sqrt{1296}}$=$\frac{1}{36}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．