Question

12．已知x，y為正實數(shù)，則$\frac{4x}{4x+y}$+$\frac{y}{x+y}$的最大值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 化簡$\frac{4x}{4x+y}$+$\frac{y}{x+y}$=$\frac{4}{4+\frac{y}{x}}$+$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1}$，再令$\frac{y}{x}$=t＞0，從而化簡得$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$，令f（t）=$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$=1+$\frac{3t}{{t}^{2}+5t+4}$=1+$\frac{3}{t+\frac{4}{t}+5}$，利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x，y為正實數(shù)，
∴$\frac{4x}{4x+y}$+$\frac{y}{x+y}$=$\frac{4}{4+\frac{y}{x}}$+$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1}$，
令$\frac{y}{x}$=t＞0，
則$\frac{4}{4+\frac{y}{x}}$+$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+1}$=$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$，
令f（t）=$\frac{4}{4+t}$+$\frac{t}{t+1}$
=1+$\frac{3t}{{t}^{2}+5t+4}$
=1+$\frac{3}{t+\frac{4}{t}+5}$≤1+$\frac{3}{4+5}$=$\frac{4}{3}$，
（當且僅當t=$\frac{4}{t}$，即t=2時，等號成立）；
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的化簡與最值及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．