Question

15．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，正三角形ABC的頂點(diǎn)C在該拋物線的準(zhǔn)線上，則△ABC的邊長(zhǎng)是（　　）

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過A、B、M分別作AA₁、BB₁、MN垂直于直線x=-1于A₁、B₁、N，設(shè)∠AFx=θ，求出$sinθ=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，利用弦長(zhǎng)公式，可得結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)AB的中點(diǎn)為M，過A、B、M分別作AA₁、BB₁、MN垂直于直線x=-1于A₁、B₁、N，設(shè)∠AFx=θ，
由拋物線定義知：|MN|=$\frac{1}{2}（|A{A_1}|+|B{B_1}|）=\frac{1}{2}|AB|$，
∵|MC|=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}|AB|$，∴|MN|=$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$|MC|，
∵∠CMN=90°-θ，
∴$cos∠CMN=cos（{90°}-θ）=\frac{|MN|}{|MC|}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，即$sinθ=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，
又由拋物線定義知|AF|=$\frac{2}{1-cosθ}$，|BF|=$\frac{2}{1+cosθ}$，∴|AB|=$\frac{4}{{{{sin}^2}θ}}=12$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，正確運(yùn)用拋物線的定義是關(guān)鍵．