Question

【題目】已知拋物線，直線交此拋物線于不同的兩個點、．

（）當直線過點時，證明，為定值．

（）當時，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；反之，請說明理由．

（）記，如果直線過點，設(shè)線段的中點為，線段的中點為．問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）直線，點

【解析】試題分析：（1）易判斷直線有斜率且不為0，設(shè)，代入拋物線方程消掉 得的二次方程，由韋達定理即可證明；
（2）分情況討論：①當直線的斜率存在時，設(shè)，其中，代入拋物線方程消掉 得的二次方程，由韋達定理及得的關(guān)系式，假設(shè)直線過定點，則，用消掉即可得到定點坐標；
②當直線的斜率不存在，設(shè)，代入拋物線方程易求，由已知可求得 可判斷此時直線也過該定點；
（3）易判斷直線存在斜率且不為0，由（1）及中點坐標公式可得，代入直線方程得，設(shè)，由中點坐標公式可得點軌跡的參數(shù)方程，消掉參數(shù)后即得其普通方程，由方程及拋物線定義可得準線、焦點即為所求；

試題解析：（）證明：過點與拋物線有兩個交點，可知其斜率一定存在，

設(shè)，其中（若時不合題意），

由得，

∴．

（）①當直線的斜率存在時，設(shè)，其中（若時不合題意）．

由得，

∴，從而．

假設(shè)直線過定點，則，

從而，得，即，即或定點．

②當直線的斜率不存在，設(shè)，代入得，，

∴，

解得，即，也過．

綜上所述，當時，直線過定點．

（）依題意直線的斜率存在且不為零．

由（）得，點的縱坐標為，

代入得，即．

設(shè)，則，消得，

由拋物線的定義知，存在直線，點，點到它們的距離相等．