【題目】直三棱柱中,,分別是 的中點,,為棱上的點.
(1)證明:;
(2)是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為?若存在,說明點的位置,若不存在,說明理由.
【答案】(1)略 (2)為的中點
【解析】試題分析:對于問題(1)可以先證明兩兩垂直,然后再建立空間直角坐標系用向量法進行證明;對于問題(2)可在(1)中建立的坐標系下,分別求出平面與平面的法向量,再根據(jù)二面角的余弦公式,即可確定是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
試題解析:(1)證明:因為,所以,
又因為,所以面,
又因為面,
所以,
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則有
設且,即,則
,所以,
因為,所以,所以
(2)結(jié)論:存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為
理由如下:
由題可知面的法向量
設面的法向量為,則
因為,
所以,即,
令,則
因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為,
所以,即,
解得或(舍),所以當為中點時滿足要求
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的圖象與軸交于點,周期是.
(1)求函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心;
(2)已知點,點是該函數(shù)圖象上一點,點是的中點,當 , 時,求的值.
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【題目】某同學在用120分鐘做150分的數(shù)學試卷(分為卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分)時,卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分數(shù)分別為P(單位:分)和Q(單位:分),在每部分做了20分鐘的條件下發(fā)現(xiàn)它們與投入時間m(單位:分鐘)的關(guān)系有經(jīng)驗公式,.
(1)試建立數(shù)學總成績y(單位:分)與對卷Ⅱ投入時間x(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系式,并指明函數(shù)定義域;
(2)如何計劃使用時間,才能使得所得分數(shù)最高.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形的長為2,寬為1, , 邊分別在軸、軸的正半軸上, 點與坐標原點重合,將矩形折疊,使點落在線段上,設此點為.
(1)若折痕的斜率為-1,求折痕所在的直線的方程;
(2)若折痕所在直線的斜率為,( 為常數(shù)),試用表示點的坐標,并求折痕所在的直線的方程;
(3)當時,求折痕長的最大值.
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【題目】從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于155cm和195cm之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160);第二組[160,165)、…、第八組[190,195],下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分,已知第一組與第八組人數(shù)相同,第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)估計這所學校高三年級全體男生身高180cm以上(含180cm)的人數(shù);
(2)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖(如需增加刻度請在縱軸上標記出數(shù)據(jù),并用直尺作圖);
(3)由直方圖估計男生身高的中位數(shù).
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【題目】在平面直角坐標系中,經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和.
(1)求的取值范圍;
(2)設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為,是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線,直線交此拋物線于不同的兩個點、.
()當直線過點時,證明,為定值.
()當時,直線是否過定點?若過定點,求出定點坐標;反之,請說明理由.
()記,如果直線過點,設線段的中點為,線段的中點為.問是否存在一條直線和一個定點,使得點到它們的距離相等?若存在,求出這條直線和這個定點;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知圓與軸負半軸相交于點,與軸正半軸相交于點.
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為,求直線的方程;
(2)若在以為圓心半徑為的圓上存在點,使得 (為坐標原點),求的取值范圍;
(3)設是圓上的兩個動點,點關(guān)于原點的對稱點為,點關(guān)于軸的對稱點為,如果直線與軸分別交于和,問是否為定值?若是求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】如下圖,梯形中,∥,,, ,將沿對角線折起.設折起后點的位置為,并且平面 平面.給出下面四個命題:
①;②三棱錐的體積為;③ 平面;
④平面平面.其中正確命題的序號是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
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