Question

16．已知平面內一動點P（x，y）（x≥0）到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線l與軌跡C相交于不同于坐標原點O的兩點A，B，求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1，可得當x≥0時，點P到F的距離等于點P到直線x=-1的距離，所以動點P的軌跡為拋物線；
（2）過點F的直線l的方程為x=my+1，代入y²=4x，可得y²-4my-4=0，利用韋達定理，結合△OAB面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|，即可求△OAB面積的最小值．

解答 解：（1）∵平面內一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1，
∴當x≥0時，點P到F的距離等于點P到直線x=-1的距離，
∴動點P的軌跡為拋物線，方程為y²=4x（x≥0）；
∴動點P的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）；
（2）設A點坐標為（x₁，y₁），B點坐標為（x₂，y₂），
過點F的直線l的方程為x=my+1，代入y²=4x，可得y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴△OAB面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$，
∴m=0時，△OAB面積的最小值為2．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是確定拋物線的方程，利用韋達定理解題．