Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³-3x．
（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若在區(qū)間[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=4代入函數(shù)解析式，得到函數(shù)的導數(shù)，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調區(qū)間，得到對應的關于函數(shù)的最小值的不等式，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=4時，f（x）=4x³-3x，f′（x）=12x²-3，
令f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）遞減；
∴函數(shù)f（x）的極大值是f（-$\frac{1}{2}$）=1，極小值是f（$\frac{1}{2}$）=-1；
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²-3，令f′（x）=3a（x+$\sqrt{\frac{1}{a}}$）（x-$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=0，
解得：x=±$\sqrt{\frac{1}{a}}$，
當2≤$\sqrt{\frac{1}{a}}$時，即0＜a≤$\frac{1}{4}$時，f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞減，
∴f（x）_最小值=f（2）=8a-6≥4，解得：a≥$\frac{5}{4}$，不合題意，舍；
當1＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜2時，即$\frac{1}{4}$＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{\frac{1}{a}}$]遞減，在[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，2]遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=-2$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥4，無解，舍；
當$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤1時，即a≥1時，f（x）在區(qū)間[1，2]單調遞增，
∴f（x）_最小值=f（1）=a-3≥4，解得：a≥7，符合題意，
綜上，正實數(shù)a的范圍是：a≥7．

點評 本題考查的是導數(shù)知識，重點是利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，難點是分類討論．對學生的能力要求較高，屬于中檔題．