Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

Answer 1

【答案】(1)(2)見解析

【解析】

本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問(wèn)題。

解：（1）設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為和 ，

切線的方程為：；切線的方程為：；

由于既在又在上，所以解得，

所以的重心的坐標(biāo)為，

，

所以，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心的軌跡方程為：

，即．

（2）方法1：因?yàn)?/span>，，．

由于點(diǎn)在拋物線外，則．

，

同理有，

．

方法2：①當(dāng)時(shí)，由于，不妨設(shè)，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：；而直線的方程：，

即．所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以，即得．

②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：，即，

直線的方程：，即，

所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：

，

同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由，可得到．