Question

3．已知拋物線y²=4x，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且直線與x軸交于點(diǎn)C
（1）求證：|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（2）設(shè)$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$，試問(wèn)α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，即可得證；
（2）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到定值-1．

解答 （1）證明：設(shè)直線的方程為：y=kx+2（k≠0），
聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k²x²+（4k-4）x+4=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-$\frac{2}{k}$，0），
則x₁+x₂=$\frac{4-4k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$②
|MA|•|MB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-0|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-0|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
而|MC|²=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|-$\frac{2}{k}$-0|²=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
∴|MC|²=|MA|•|MB|≠0，
即有|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（2）解：由$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$，得
（x₁，y₁-2）=α（-x₁-$\frac{2}{k}$，-y₁），（x₂，y₂-2）=β（-x₂-$\frac{2}{k}$，-y₂），
即得：α=$\frac{-k{x}_{1}}{k{x}_{1}+2}$，β=$\frac{-k{x}_{2}}{k{x}_{2}+2}$，
則α+β=$\frac{-2{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-2k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+2k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β為定值且定值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查等比數(shù)列的性質(zhì)和向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．