Question

13．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AA₁=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC₁、BC 的中點，AE⊥
A₁B₁，D為棱A₁B₁上的點．
（1）證明：DF⊥AE；
（2）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明AB⊥AC，然后以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則能寫出各點坐標(biāo)，由$\overrightarrow{{A}_{1}D}$與$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$共線可得D（λ，0，1），所以$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=0，即DF⊥AE；   
（2）通過計算，面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$可寫成$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2（1-λ）），又面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），令|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，解出λ的值即可．

解答 （1）證明：∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA₁⊥AB，AA₁⊥∩AE=A，∴AB⊥面A₁ACC₁，
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC，
以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則有A（0，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），
設(shè)D（x，y，z），$\overrightarrow{{A}_{1}D}=λ\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$ 且λ∈[0，1]，即（x，y，z-1）=λ（1，0，0），
則  D（λ，0，1），所以$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}$，-1），
∵$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{DF}$•$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，所以DF⊥AE；   
（2）結(jié)論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$．
理由如下：
設(shè)面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{FE}$=（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}-λ$$\frac{1}{2}$，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2（1-λ）}z}\\{y=\frac{1+2λ}{2（1-λ）}z}\end{array}\right.$，
令z=2（1-λ），則$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2（1-λ））．
由題可知面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，即$\frac{|2（1-λ）|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{7}{4}$（舍），所以當(dāng)D為A₁B₁中點時滿足要求．

點評 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、空間向量及其應(yīng)用，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．