Question

設(shè)關(guān)于x的不等式|x-2|＜a（a∈R）的解集為A，且

3

2

∈A，-

1

2

∉A
（1）?x∈R，|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，且a∈N，求a的值
（2）若a+b=1，求

1

3|b|

+

|b|

a

的最小值，并指出取得最小值時(shí)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,基本不等式

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,集合

分析：（1）由

3

2

∈A，-

1

2

∉A可得

1

2

＜a≤

5

2

，再由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|x-1|+|x-3|的最小值為2，結(jié)合恒成立思想，可得a²+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；
（2）由條件可得

1

3|b|

+

|b|

a

=

a+b

3|b|

+

|b|

a

，對(duì)b討論，分b＞0，b＜0，運(yùn)用基本不等式求出最小值，比較即可得到所求最小值，同時(shí)求出取等號(hào)的a的值．

解答： 解：（1）關(guān)于x的不等式|x-2|＜a（a∈R）的解集為A，且

3

2

∈A，-

1

2

∉A，
則a＞|

3

2

-2|且a≤|-

1

2

-2|，即有

1

2

＜a≤

5

2

，①
?x∈R，|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，即有
|x-1|+|x-3|的最小值為2，
?x∈R，|x-1|+|x-3|≥a²+a恒成立，即有
a²+a≤2，解得-2≤a≤1，②
由①②可得

1

2

＜a≤1，
由a∈N，則a=1；
（2）若a+b=1，則

1

3|b|

+

|b|

a

=

a+b

3|b|

+

|b|

a

，
當(dāng)b＞0時(shí)，

1

3|b|

+

|b|

a

=

1

3

+（

a

3b

+

b

a

）≥

1

3

+2

a 3b • b a

=

1+2 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

3b

=

b

a

，即a=

3- 3

2

∈（

1

2

，

5

2

]，b=

3 -1

2

時(shí)，取得最小值，且為

1+2 3

3

；
當(dāng)b＜0時(shí)，

1

3|b|

+

|b|

a

=-

1

3

+（

a

3b

+

b

a

）≥-

1

3

+2

a 3b • b a

=

2 3 -1

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

3b

=

b

a

，即a=

3+ 3

2

∈（

1

2

，

5

2

]，b=

-1- 3

2

時(shí)，取得最小值，且為

2 3 -1

3

．
綜上可得，當(dāng)a=

3+ 3

2

時(shí)，

1

3|b|

+

|b|

a

取得最小值，且為

2 3 -1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．