Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計(jì)算f（0）+f（1）+f（2）+…+（2014）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明f（x）是周期函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系即可求出當(dāng)x∈[2，4]時(shí)f（x）的解析式；
（3）根據(jù)函數(shù)的周期性先計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值之和，即可計(jì)算f（0）+f（1）+f（2）+…+（2014）的值．

解答： 證明：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
則f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）若x∈[-2，0]時(shí)，
則-x∈[0，2]時(shí)，
此時(shí)f（-x）=-2x-x²．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-2x-x²=-f（x），
則f（x）=2x+x²，x∈[-2，0]，
若x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]，
則f（x）=f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8，x∈[2，4]；
（3）∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）=x²-6x+8，
則f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0，
則f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=1-1=0，
∵f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+（2014）=f（0）+f（1）=1．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)周期性的定義以及函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．