Question

10．下列幾個(gè)命題
①奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)
②函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)
③函數(shù)f（x）=a^x-1+3的圖象一定過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4）
④若f（x+1）為偶函數(shù)，則有f（x+1）=f（-x-1）
⑤若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2（x≤1）}\end{array}\right.$在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，8）
其中正確的命題序號(hào)為③⑤．

Answer 1

分析 ①若在原點(diǎn)無意義，則奇函數(shù)圖象就不過原點(diǎn)；
②可整理為y=0；
③橫過的含義為無論參數(shù)a取何值，函數(shù)都過某一點(diǎn)；
④利用偶函數(shù)的定義自變量x取相反數(shù)，函數(shù)值不變；
⑤分段函數(shù)要使在整個(gè)區(qū)間單調(diào)，則必須每個(gè)區(qū)間都有相同的單調(diào)性，且在臨界處滿足單調(diào)性．

解答 解：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若在原點(diǎn)有意義，則一定通過原點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$的定義域?yàn)閧-1，1}，整理后y=0，即是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；
③a⁰=1，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=4，函數(shù)f（x）=a^x-1+3的圖象一定過定點(diǎn)P（1，4），故正確；
④若f（x+1）為偶函數(shù)，由偶函數(shù)定義可知f（-x+1）=f（x+1），故錯(cuò)誤；
⑤若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2（x≤1）}\end{array}\right.$在R上的增函數(shù)，
∴a＞1，且4-$\frac{a}{2}$＞0，f（1）≤a，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，8）故正確；
故正確額序號(hào)為③⑤．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)的單調(diào)性問題．