Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為2

2

，離心率為

2

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點B為橢圓C的下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（異于上頂點），且AB中點E在直線y=x上，
（�。┣笾本�AB的方程；
（ⅱ）點P為橢圓C上異于A，B的任意一點，若直線AP，BP分別交直線y=x與M，N兩點，證明：

OM

•

ON

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為2

2

，離心率為

2

2

，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）（�。┣蟪鯝的坐標，代入橢圓方程，即可求直線AB的方程；
（ⅱ）確定直線AP、BP的方程與y=x聯(lián)立，求出M，N的坐標，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明

OM

•

ON

為定值．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為2

2

，離心率為

2

2

，
∴2a=2

2

，e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1…（3分）
（2）（i）解：由（1）知B（0，-1），設(shè)點E（m，m）．
∵點E為AB中點，∴A（2m，2m+1），
又∵點A在橢圓上，∴

(2m)2

2

+(2m+1)2=1
解得：m=0（舍）或m=-

2

3

，
∴直線AB的方程為：y=-

1

2

x-1．…（8分）
（ii）證明：∵點M、N在y=x上，∴設(shè)M（x₁，x₁），N（x₂，x₂），P（x₀，y₀），∴

x02

2

+y02=1，
∵A(-

4

3

，-

1

3

)，∴直線AP的方程為：(y+

1

3

)(x0+

4

3

)=(y0+

1

3

)(x+

4

3

)，
與y=x聯(lián)立得x1=

1

3

•

x0-4y0

y0-x0-1

，
同理：直線BP的方程為：（y+1）x₀=（y₀+1）x
與y=x聯(lián)立得x2=

x0

y0-x0+1

，…（10分）
∴

OM

•

ON

=(x1，x1)•(x2，x2)=2x1x2=

2

3

•

x02-4x0y0

(y0-x0+1)•(y0-x0-1)

=

2

3

•

x02-4x0y0

(y0-x0)2-1

=

2

3

•

x02-4x0y0

y02-2x0y0+x02-1

=

2

3

•

x02-4x0y0

1- x02 2 -2x0y0+x02-1

=

4

3

，
∴

OM

•

ON

為定值．                                     …（12分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．