Question

【題目】數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=t，k∈N* ， k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ．
（1）當(dāng)k=1，p=5時(shí)，若數(shù)列{an}成等比數(shù)列，求t的值；
（2）設(shè)數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，求{an}的公比及t（用p、k的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)k=1，t=1時(shí)，設(shè)Tn=a1+ + +…+ + ，參照教材上推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，求證：{ Tn﹣ ﹣6n}是一個(gè)常數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：an+an+1=65n，

an+1+an+2=65n+1，

設(shè)等比數(shù)列（an}的公比是q，

則an+an+1=65n5，

∴q=5，

n=1時(shí)，t+5t=30，∴t=5

（2）解：an+an+1+an+2+…+an+k=6pn，

an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1，

數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，所以求出公比為p，

∴t（pn﹣1+pn+…+pn+k﹣1）=6pn，

項(xiàng)數(shù)為n+k﹣1﹣（n﹣1）十1=k+1項(xiàng)，

當(dāng)p=1時(shí)，t（k+1）=6，

∴t= ，

當(dāng)p≠1，且p＞0時(shí)，t =6pn，

∴t=

（3）證明：∵n是任意的正整數(shù)，當(dāng)n=1時(shí)， =6P1=6，

依此類推，當(dāng)n取n﹣1項(xiàng)時(shí)， = =6，

∴Tn=a1+ + +…+ + ，

Tn= + + +…+ + =a1+ + +…+ + ，

∴（1+ ）Tn=2a1+ + +…+ + =a1+6n﹣6+ ，

∴ Tn﹣ ﹣6n=a1﹣6=﹣5

【解析】（1）由an+an+1=65n ， an+1+an+2=65n+1 ， 得到等比數(shù)列（an}的公比q=5，由此能求出t的值．（2）an+an+1+an+2+…+an+k=6pn ， an+1+an+2+an+3+…+an+1+k=6pn+1 ， 數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，所以求出公比為p，由此能求出t．（3）由Tn=a1+ + +…+ + ， Tn=a1+ + +…+ + ，由此能夠證明 Tn﹣ ﹣6n=a1﹣6=﹣5．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．