Question

14．二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的系數(shù)a，b，c互不相等，若a，b，c成等差數(shù)列，b+1，a+1，c+1成等比數(shù)列．
（1）求a，b之間的關(guān)系式；
（2）若f（x）+6≥0在R上恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，消去c，即可得到a，b的關(guān)系式；
（2）將a，c用b表示，再由二次不等式恒成立思想，可得b的不等式，注意討論二次項系數(shù)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由于a，b，c成等差數(shù)列，b+1，a+1，c+1成等比數(shù)列，
則2b=a+c，（a+1）²=（b+1）（c+1），
將c=2b-a代入第二個式子，化簡可得
（a+2b+3）（a-b）=0，（a≠b），
即有a+2b+3=0；
（2）由（1）可得a=-3-2b，c=2b-a=4b+3，
f（x）+6≥0在R上恒成立，即為
（-3-2b）x²+bx+4b+9≥0恒成立，
由于-3-2b=0，即b=-$\frac{3}{2}$時，不等式不恒成立；
即有$\left\{\begin{array}{l}{-3-2b＞0}\\{^{2}+4（3+2b）（4b+9）≤0}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{b＜-\frac{3}{2}}\\{-2≤b≤-\frac{18}{11}}\end{array}\right.$，
則有-2≤b≤-$\frac{18}{11}$．
則實數(shù)b的取值范圍是[-2，-$\frac{18}{11}$]．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式和恒成立問題，同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡整理的運算求解能力，屬于中檔題．