Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²-2kx+2，當(dāng)x≥-1時(shí)，恒有f（x）≥k，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得（2x+1）k≤x²+2，對(duì)x討論，當(dāng)2x+1=0即x=-$\frac{1}{2}$，當(dāng)2x+1＞0，即x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)-1≤2x+1＜0，即-1≤x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，分離參數(shù)，運(yùn)用換元法和基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，即可得到k的范圍．

解答 解：當(dāng)x≥-1時(shí)，恒有f（x）≥k，即有
x²-2kx+2≥k，即有（2x+1）k≤x²+2，
當(dāng)2x+1=0即x=-$\frac{1}{2}$，不等式顯然成立；
當(dāng)2x+1＞0，即x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)，即有k≤$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，
令y=$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，設(shè)t=2x+1，（t＞0），則有
y=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{9}{t}$）-$\frac{1}{2}$，
由t+$\frac{9}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)t=3即x=1時(shí)，y取得最小值1．
則有k≤1；
當(dāng)-1≤2x+1＜0，即-1≤x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，即有k≥$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，
令y=$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，設(shè)t=2x+1，（-1≤t＜0），則有
y=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{9}{t}$）-$\frac{1}{2}$，
由t+$\frac{9}{t}$在[-1，0）遞減，當(dāng)t=-1即x=-1時(shí)，y取得最大值-3．
則有k≥-3．
綜上可得-3≤k≤1．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-3，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．