Question

20．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+5，（x≤1）}\end{array}\right.$滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （4，+∞）
• B． [6，8）
• C． （6，8）
• D． （1，8）

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，得到函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，從而列出方程組，解方程組則可得答案．

解答 解：∵對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
又函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+5，（x≤1）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{4-\frac{a}{2}＞0}\\{4-\frac{a}{2}+5≤a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜8}\\{a≥6}\end{array}\right.$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：6≤a＜8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是列出方程組從而求解，是中檔題．