Question

已知函數(shù)f（x）=aln x-x+

a-1

x

．
（1）若a=4，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)無極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過a=4，求出函數(shù)的解析式與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，然后求解f（x）的極值；
（2）通過f（x）在定義域內(nèi)無極值，f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域上恒成立，構(gòu)造函數(shù)通過二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）已知a=4，∴f（x）=4lnx-x+

3

x

，（x＞0），
f′（x）=

4

x

-1-

3

x2

=

-x2+4x-3

x2

，
令f′（x）=0，解得x=1或x=3．
當(dāng)0＜x＜1或x＞3時，f′（x）＜0，
當(dāng)1＜x＜3時，f′（x）＞0，
f（1）=2，f（3）=4ln3-2，∴f（x）取得極小值2，極大值4ln3-2．
（2）f（x）=alnx-x+

a-1

x

（x＞0），f′（x）=

a

x

-1-

a-1

x2

=

-x2+ax-1+1

x2

，
f（x）在定義域內(nèi)無極值，即f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域上恒成立．
即方程f′（x）=0在（0，+∞）上無變號零點(diǎn)．
設(shè)g（x）=-x²+ax-（a-1），根據(jù)圖象可得
△≤0或

△≥0 a 2 ≤0 g(0)≤0

，
△≤0即：a²-4a+4≤0解得a=2，
解：

a2-4a+4≥0 a 2 ≤0 -a+1≤0

，得a∈∅
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a=2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的恒成立，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．