Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（2+x）=f（6-x），且當(dāng)x≠4時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞4f′（x），若9＜a＜27，則（　�。�

• A、f（2

  a

  ）＜f（6）＜f（1og₃a）
• B、f（6）＜f（2

  a

  ）＜f（1og₃a）
• C、f（1og₃a）＜f（2

  a

  ）＜f（6）
• D、f（1og₃a）＜f（6）＜f（2

  a

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f（2+x）=f（6-x），可知函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對(duì)稱，由xf′（x）＞4f′（x），可知f（x）在（-∞，4）與（4，+∞）上的單調(diào)性，從而可得答案

解答： 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（2+x）=f（6-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=4對(duì)稱；
又當(dāng)x≠4時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足xf′（x）＞4f′（x）?f′（x）（x-4）＞0，
∴當(dāng)x＞4時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（4，+∞）上的單調(diào)遞增；
同理可得，當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）在（-∞，4）單調(diào)遞減；
∵9＜a＜27，
∴2＜log₃a＜3，8＜2

a

＜8•2

3

，
∴f（log₃a）＜f（6）＜f（2

a

），
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，判斷f（x）在（-∞，4）與（4，+∞）上的單調(diào)性是關(guān)鍵，屬于中檔題．