Question

（1）求使得（3x+

1

x x

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為？
（2）對(duì)于（1）中求得的n，從3名骨科，4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派n人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，求骨科，腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)？（用數(shù)字作答）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：排列組合,二項(xiàng)式定理

分析：（1）先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得n和r的關(guān)系，即可求得n的最小值．
（2）分類討論，不同的組隊(duì)方案：選5名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，要求其中骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人，方法共有6類，他們分別是：3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生；1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，…，在每一類中都用分步計(jì)數(shù)原理解答．

解答： 解：（1）由于（3x+

1

x x

）ⁿ（n∈N^*）的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

•（3x）^n-r•（x

x

）-r=3^n-r•

C

r n

•xn-

5

2

r令n-

5

2

r=0，可得 n=

5

2

r，其中r=0，1，2，…n．
故n的最小值為5，
（2）從3名骨科，4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，
①3名骨科、1名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C₃³C₄¹C₄¹=16種，
②1名骨科、3名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C₃¹C₄³C₄¹=48種，
③1名骨科、1名腦外科和3名內(nèi)科醫(yī)生，有C₃¹C₄¹C₄³=48種，
④2名骨科、2名腦外科和1名內(nèi)科醫(yī)生，有C₃²C₄²C₄¹=72種，
⑤1名骨科、2名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有C₃¹C₄²C₄²=108種，
⑥2名骨科、1名腦外科和2名內(nèi)科醫(yī)生，有C₃²C₄¹C₄²=72種，
共計(jì)16+48+48+72+108+72=364種
骨科，腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)：364．

點(diǎn)評(píng)：（1）題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．（2）題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答關(guān)鍵是利用直接法：先分類后分步．