【題目】已知常數(shù),數(shù)列滿足,.
(1)若,,求的值;
(2)在(1)的條件下,求數(shù)列的前項和;
(3)若數(shù)列中存在三項,,(且)依次成等差數(shù)列,求的取值范圍.
【答案】(1);(2),;(3).
【解析】
(1)根據(jù)題中條件,逐項計算,即可得出結(jié)果;
(2)由(1)得到,,當時,,從而,得出,由等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)果;
(3)先由,得到數(shù)列是遞增數(shù)列,分,,三種情況,利用放縮法,以及等差中項的概念,即可得出結(jié)果.
(1)因為,,
所以,
因此,,
;
(2)因為,,
所以,當時,,從而,
于是有:;
當時,;
當時,,
所以,即,;
(3)因為,
所以,即數(shù)列是遞增數(shù)列,
①當時,有,于是有,
從而,
所以,
若數(shù)列中存在三項,,(且)依次成等差數(shù)列,
則有,即,
因為,所以,
所以不成立,因此此時數(shù)列中不存在三項,,(且)依次成等差數(shù)列;
②當時,有,
此時,
于是當時,,從而,
所以,
若數(shù)列中存在三項,,(且)依次成等差數(shù)列,
則有,同①可知:,于是有,
因為,所以,
因為是整數(shù),所以,
于是,即與矛盾,
故此時數(shù)列中不存在三項,,(且)依次成等差數(shù)列;
③當時,有,,
于是,
,
此時數(shù)列中存在三項,,(且)依次成等差數(shù)列,
綜上,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程;
(2)已知與直線平行的直線過點,且與曲線交于兩點,試求.
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【題目】若有窮數(shù)列()滿足:①;②.則稱該數(shù)列為“階非凡數(shù)列”
(1)分別寫出一個單調(diào)遞增的“階非凡數(shù)列”和一個單調(diào)遞減的“階非凡數(shù)列”;
(2)設(shè),若“階非凡數(shù)列”是等差數(shù)列,求其通項公式;
(3)記“階非凡數(shù)列”的前項的和為,求證:
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【題目】某單位有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元,為了增加企業(yè)競爭力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出()名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調(diào)整后這名員工他們平均每人創(chuàng)造利潤為萬元,剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)整多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?
(2)設(shè),若調(diào)整出的員工創(chuàng)造出的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,求的最大值.
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【題目】某海域有兩個島嶼,島在島正東4海里處,經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線是曲線,曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)出過魚群。以所在直線為軸,的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.
(1)求曲線的標準方程;
(2)某日,研究人員在兩島同時用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號(傳播速度相同),兩島收到魚群在處反射信號的時間比為,問你能否確定處的位置(即點的坐標)?
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【題目】在四棱錐中,平面,正方形的邊長為2,,設(shè)為側(cè)棱的中點.
(1)求正四棱錐的體積;
(2)求直線與平面所成角的大小.
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【題目】對于曲線所在的平面上的定點,若存在以點為頂點的角,使得對于曲線上的任意兩個不同的點恒成立,則稱角為曲線的“點視角”,并稱其中最小的“點視角”為曲線相對于點的”點確視角”.已知曲線和圓是軸上一點
(1)對于坐標原點,寫出曲線的“點確視角”的大;
(2)若在曲線上,求的最小值;
(3)若曲線和圓的“點確視角”相等,求點坐標.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論函數(shù)的零點的個數(shù).
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【題目】七巧板是古代中國勞動人民發(fā)明的一種中國傳統(tǒng)智力玩具,它由五塊等腰直角三角形,一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.清陸以湉《冷廬雜識》卷一中寫道:近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.體物肖形,隨手變幻,蓋游戲之具,足以排悶破寂,故世俗皆喜為之.如圖是一個用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點,則此點取自陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
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