Question

6．記函數(shù)f（x）=-x+$\sqrt{2x+1}$的定義域和值域分別為A，B．
（1）求A，并用描述法表示；
（2）求B，并用區(qū)間表示；
（3）求函數(shù)y=x²（x∈A∩B）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域即可求A；
（2）利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求B；
（3）先求出A∩B，然后利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)y=x²（x∈A∩B）的值域．

解答 解：（1）由2x+1≥0得x≥-$\frac{1}{2}$，即函數(shù)的定義域為A={x|x≥$-\frac{1}{2}$}；
（2）設(shè)t=$\sqrt{2x+1}$，則x=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，t≥0，
則函數(shù)等價為y=g（t）=-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，t≥0，
∵t≥0，
∴y≤1，即函數(shù)的值域B=（-∞，1]；
（3）∵A={x|x≥$-\frac{1}{2}$}；B=（-∞，1]；
∴A∩B=[$-\frac{1}{2}$，1]；
則函數(shù)y=x²，x∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
則當x=0時，函數(shù)取得最大值為y=0，
當x=1時，函數(shù)取得最大值y=1，
即函數(shù)的值域為[0，1]．

點評 本題主要考查函數(shù)定義域，值域以及集合的基本運算，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．