Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論曲線(xiàn)與曲線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解；（2）先將零點(diǎn)的個(gè)數(shù)化為方程根的個(gè)數(shù)，再將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像問(wèn)題，最后通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分析求解：

（Ⅰ）由題意，設(shè)切點(diǎn)為，由題意可得

，即，解得，即切點(diǎn)．

所以，所以切線(xiàn)方程為．

（Ⅱ）當(dāng)， 時(shí)，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

即方程根的個(gè)數(shù)．

由得．

令，則，令，解得．

隨變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

		2
	—	0	+
	↘	極小值	↗

其中．所以為在的最小值．

所以對(duì)曲線(xiàn)與曲線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論如下：

當(dāng)時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)．