Question

已知函數(shù)f(x)=

-x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 )

（x∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關(guān)于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）因為函數(shù)已知函數(shù)f(x)=

-x-1(x＜-2) x+3(-2≤x≤ 1 2 ) 5x+1(x＞ 1 2 )

（x∈R），
當(dāng)x＜-2時，f（x）∈（1，+∞）；當(dāng)-2≤x≤

1

2

時，f（x）∈[1，

7

2

]；當(dāng)x＞

1

2

時，f（x）∈(

7

2

，+∞)
所以函數(shù)的值域為[1，+∞），最小值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
所以命題p：-3≤m≤1．
對于命題q，函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)，則m²-1＞1，即m²＞2，
所以命題q：m＜-

2

或m＞

2

由“p或q”為真，“p且q”為假可知有以下兩個情形：
若p真q假，則

-3≤m≤1 - 2 ≤m≤ 2

解得：-

2

≤m≤1，
若p假q真，則

m＜-3或m＞1 m＜- 2 或m＞ 2

解得：m＜-3，或m＞

2

．
故實數(shù)m的取值范圍是(-∞，-3)∪[-

2

，1]∪(

2

，+∞)．