【題目】四棱錐中,底面為平行四邊形,側(cè)面 ,分別是的中點,已知,,.

(Ⅰ)證明:平面;

(Ⅱ)證明:

(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】I)證明見解析;(II)證明見解析;(III) .

【解析】

I)取中點,連結(jié),可證明平面,平面,可得平面平面,由面面平行的性質(zhì)可得結(jié)果;(II)作,垂足為,連結(jié),由面面垂直的性質(zhì)可得,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得,可得平面,從而可得結(jié)果;(III)求出 ,的面積,的面積,設到平面的距離為,由, 可得,進而可得結(jié)果.

I)取中點,連結(jié),

分別是的中點,底面平行四邊形,

因為平面平面,

平面平面,

平面,平面,

又因為

平面平面,

平面,

平面

II)作,垂足為,連結(jié),

側(cè)面底面,

底面,所以,

,

,故為等腰直角三角形,.

平面,即.

(III)由(II)可知,故,由,可得,

的面積

連接,得的面積,

到平面的距離為

,得,解得

與平面成的角為,

,直線與平面成的角的正弦值為.

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