Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x+

16

x

（8≤x≤16）；
（2）y=

x

2

+

2

x

（0＜x≤1）；
（3）y=

x2+5

x2+4

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：前兩個(gè)可先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，在所給區(qū)間上判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而判斷函數(shù)在這一區(qū)間上的單調(diào)性．根據(jù)單調(diào)性就能求出函數(shù)的值域．第三個(gè)先要對(duì)原函數(shù)解析式變形，正好能變到能用上不等式：a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），從而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵8≤x≤16，∴y′=

x2-16

x2

＞0；
∴函數(shù)y=x+

16

x

在[8，16]上單調(diào)遞增；
∴10≤y≤17；
∴函數(shù)y=x+

16

x

的值域是[10，17]．
（2）∵0＜x≤1，∴y′=

x2-4

2x2

＜0；
∴函數(shù)y=

x

2

+

2

x

在（0，1]上單調(diào)遞減；
∴y≥

5

2

；
∴函數(shù)y=

x

2

+

2

x

的值域是[

5

2

，+∞）．
（3）令

x2+4

=t，(t≥2)則：
y=

t2+1

t

，y′=

t2-1

t

＞0
函數(shù)y=

t2+1

t

在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴y≥

5

2

；
∴該函數(shù)的值域是[

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，這是求值域常用方法，需熟練掌握．對(duì)于第三個(gè)函數(shù)解析式，通過(guò)觀察解析式就應(yīng)該想著做變形處理，并用上基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）．而要注意基本不等式中a，b的符號(hào)．