Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a∈R）．
（1）若不等式f（ax）＞a-3的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)x＞y＞0，且xy=4，若不等式f（x）+f（y）+2ay≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,其他不等式的解法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）不等式f（ax）＞a-3可化為a²x²-a²x-a+3＞0，）當(dāng)a=0時(shí)，不等式即3＞0，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，根據(jù)判別式△＜0，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論；
（2）x＞y＞0，不等式f（x）+f（y）+2ay≥0即為a≤

x2+y2

x-y

，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）不等式f（ax）＞a-3可化為a²x²-a²x-a+3＞0
當(dāng)a=0時(shí)，不等式即3＞0，滿足不等式f（x）＞0的解集為全體實(shí)數(shù)R．
當(dāng)a≠0時(shí)，根據(jù)判別式△＜0，求得-6＜a＜2且a≠0．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-6，2）．
（2）x＞y＞0，不等式f（x）+f（y）+2ay≥0即為a≤

x2+y2

x-y

，
∵xy=4，∴

x2+y2

x-y

=

(x-y)2+2xy

x-y

=（x-y）+

8

x-y

≥4

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x-y=

8

x-y

，即x=

6

+

2

，y=

6

-

2

時(shí)，

x2+y2

x-y

取最小值4

2

，
∴a≤4

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．