（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），長半軸長為
2
．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結(jié)論“過圓
x
2
 
+
y
2
 
=r2上任一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程是x0x+yy0=
r
2
 
”，歸納得出：過橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程是
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
；
（2）設(shè)M，N是直線x=2上的兩個點(diǎn)，若
F1M
•
F2M
=0，求|MN|的最小值．
分析：（1）直接利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與長半軸，求出b，然后求解橢圓的方程．
（2）（i）直接類比圓的切線方程，寫出橢圓的切線方程即可．
（ii）設(shè)m（2，y1），N（2，y2），通過向量的數(shù)量積，推出y1，y2的關(guān)系，求出|MN|的表達(dá)式，利用基本不等式求出最小值即可．
解答：解：（1）（i）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=1，長半軸長為
2
，可知，a=
2
，所以b=1，
所以橢圓C的方程為
x
2
 
2
+y2=1．
（ii）過圓
x
2
 
+
y
2
 
=r2上任一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程是x0x+yy0=
r
2
 
，
過橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程是：
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1．
（2）∵M(jìn)，N是直線x=2上的兩個點(diǎn)，
∴設(shè)m（2，y1），N（2，y2），（不妨y1＞y2）．
∵
F1M
•
F2M
=0，
∴（3，y1）•（1，y2）=0，
即3+y1y2=0，由于y1＞y2．所以
y1＞0，y2＜0，
∴|MN|=y1-y2=y1+
3
y1
≥2
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)y1=
3
，y2=-
3
，時取等號．
故|MN|的最小值為：2
3
．
故答案為：（ii）
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，向量的數(shù)量積，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
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3
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3
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AB
•
AC
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