【題目】已知方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0與點P（－2，2）.

（1）證明：對任意的實數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標；

（2）證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于.

【答案】（1）證明見解析；直線經(jīng)過的定點為M（2，－2）（2）證明見解析

【解析】

（1）變形得到2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，得到方程計算得到答案.

（2）易知≤|PM|=，當(dāng)與直線垂直時，直線方程為x－y－4＝0.，而直線系不能表示此直線，故得證.

（1）解顯然2＋λ與－（1＋λ）不可能同時為零，故對任意的實數(shù)λ，該方程都表示直線.

∵方程可變形為2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，∴ 解得

故直線經(jīng)過的定點為M（2，－2）.

（2）證明：易知≤|PM|=，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時，等號成立

此時對應(yīng)的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直線系方程唯獨不能表示直線x－y－4＝0，∴<，故所證成立.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】選修4-4：極坐標與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）求曲線的普通方程；

（2）經(jīng)過點（平面直角坐標系中點）作直線交曲線于， 兩點，若恰好為線段的三等分點，求直線的斜率．

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【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影，N是PC的中點.

(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；

(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.

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【題目】（本題14分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）標準煤的幾組對照數(shù)據(jù)：


3

4

5

6


2.5

3

4

4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；并指出x，y 是否線性相關(guān)；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（3）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標準煤？

（參考:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式，）

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【題目】已知在等比數(shù)列中， ，且， ， 成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小.

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【題目】三棱錐的一條棱長為，其余棱長均為2，當(dāng)三棱錐的體積最大時, 它的外接球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.

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【題目】過去大多數(shù)人采用儲蓄的方式將錢儲蓄起來，以保證自己生活的穩(wěn)定考慮到通貨膨脹的壓力，如果我們把所有的錢都用來儲蓄，這并不是一種很好的方式隨著金融業(yè)的發(fā)展，普通人能夠使用的投資理財工具也多了起來為了研究某種理財工具的使用情況，現(xiàn)對年齡段的人員進行了調(diào)查研究，將各年齡段人數(shù)分成5組：，，，，，并整理得到頻率分布直方圖：

Ⅰ估計使用這種理財工具的人員年齡的中位數(shù)、平均數(shù)；

Ⅱ采用分層抽樣的方法，從第二組、第三組、第四組中共抽取8人，則三個組中各抽取多少人？

Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，隨機抽取2人，則第三組至少有1個人被抽到的概率是多少？

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當(dāng)，，時，滿足條件的三角形共有1個；

若三角形a：b：：5：7，這個三角形的最大角是；

如果，那么的形狀是直角三角形；

若，，，則在方向的投影為．

以上命題中所有正確命題的序號是______

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