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(2013•懷化二模)如圖所示,四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA⊥面ABCD,PA=2,過點A作AE⊥PB,AF⊥PC,連接EF.
(1)求證:PC⊥面AEF;
(2)若面AEF交側棱PD于點G(圖中未標出點G),求多面體P-AEFG的體積.
分析:(1)通過證明AE⊥PC,AE⊥PC,AE∩AF=A,即可證明PC⊥面AEF.
(2)說明AG⊥面PDC,△AGF是直角三角形,求出PF=
2
3
3
,S AEFG=
2
3
3
,即可求解VP-AEFG
解答:解:(1)證明:∵PA⊥面ABCD,BC在面內,
∴PA⊥BC  BA⊥BC,BC∩BA=B,
∴BC⊥面PAB,
又∵AE在面PAB內∴BC⊥AE
∵AE⊥PB,BC∩PB=B,
∴AE⊥面PBC,
又∵PC在面PBC內∵AE⊥PC,
∵AE⊥PC,AE∩AF=A,
∴PC⊥面AEF.…(5分)
(2)PC⊥面AEF,∴AG⊥PC,
∵AG⊥DC,PC∩DC=C∴AG⊥面PDC,
∵GF在面PDC內∴AG⊥GF
∵△AGF是直角三角形,由(1)可知△AEF是直角三角形,AE=AG=
2
,EF=GF=
6
3

S AEF=
3
3
,S AGF=
3
3
,又AF=
2
6
3
,PF=
2
3
3

S AEFG=
2
3
3
,
VP-AEFG=
1
3
×
2
3
3
×
2
3
3
=
4
9
…(12分)
點評:本題考查直線與平面垂直,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力,計算能力.
練習冊系列答案
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2

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5n
5n
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x
-
a
x
)9
展開式的常數項為( 。

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3
2
的橢圓,使兩端點A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點,如圖2;再將這個橢圓放在平面直角坐標系中,使其中心在坐標原點,長軸在x軸上,已知此時點A的坐標為(0,1),如圖3,在圖形變化過程中,圖1中線段AM的長度對應于圖3中的橢圓弧ADM的長度.圖3中直線AM與直線y=-2交于點N(n,-2),則與實數m對應的實數就是n,記作f(m)=n,

現給出下列5個命題①f(
k
2
)=6
;②函數f(m)是奇函數;③函數f(m)在(0,k)上單調遞增;④函數f(m)的圖象關于點(
k
2
,0)
對稱;⑤函數f(m)=3
3
時AM過橢圓的右焦點.其中所有的真命題是( 。

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