Question

關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²³有下列命題：
①該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；
②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為

C

6 23

x⁶；
③該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第13項(xiàng)；
④當(dāng)x=24時(shí)，（x-1）²³除以24的余數(shù)是23．
其中正確命題有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：簡易邏輯,二項(xiàng)式定理

分析：利用賦值求出各項(xiàng)系數(shù)和，判斷出命題①正確；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第5項(xiàng)，判斷出命題②錯(cuò)誤；據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷出命題③正確；利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開，判斷出命題④正確．

解答： 解：對于①，此二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為0，其常數(shù)項(xiàng)為

C

23 23

(-1)23=-1，故①正確；
對于②，其第6項(xiàng)T₆=C₂₃⁵x^23-5•（-1）⁵=-C₂₃⁵x¹⁸，故②不正確；
對于③，該二項(xiàng)展開式共有2010項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知第12項(xiàng)與13項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，奇數(shù)項(xiàng)為正，故③正確；
對于④，（x-1）²³=（x²³-C₂₃¹x²²+C₂₃²x²¹-…+C₂₃²³x）-1=（x²³-C₂₃¹x²²+C₂₃²x²¹-…+C₂₃²²-1）x+x-1．當(dāng)x=24時(shí)，被24除的余數(shù)為24-1=23．故④正確．
正確命題：①③④．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查求展開式的系數(shù)和的方法是賦值法；考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決展開式的特定項(xiàng)問題；考查展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；考查二項(xiàng)式定理．