某海域有、兩個(gè)島嶼，島在島正東4海里處。經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線是曲線，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群。以、所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（6分）
（2）某日，研究人員在、兩島同時(shí)用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），、兩島收到魚群在處反射信號的時(shí)間比為，問你能否確定處的位置（即點(diǎn)的坐標(biāo)）？（8分）

（1） ；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或。

解析試題分析：（1）由題意知曲線是以、為焦點(diǎn)且長軸長為8的橢圓         3分
又，則，故                     5分
所以曲線的方程是                           6分
（2）由于、兩島收到魚群發(fā)射信號的時(shí)間比為，
因此設(shè)此時(shí)距、兩島的距離分別比為             7分
即魚群分別距、兩島的距離為5海里和3海里。       8分
設(shè)，，由 ，    10分
，                                     12分 
                                     13分
點(diǎn)的坐標(biāo)為或                 14分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評：中檔題，利用橢圓的定義，明確曲線是橢圓并求得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，作為實(shí)際問題解決，很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的妙用。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，橢圓以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的最短距離為，求雙曲線和橢圓的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、為橢圓的焦點(diǎn)，且直線與橢圓相切．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求△的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題12分）直線l:y=kx＋1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點(diǎn)A,B.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分12分）
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率， .
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在平面直坐標(biāo)系中，已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，直線平分線段，求：當(dāng)的面積取得最大值時(shí)直線的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題10分）雙曲線的離心率等于4，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求此雙曲線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率e＝.
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）已知半徑為6的圓與軸相切，圓心在直線上且在第二象限，直線過點(diǎn)．
（Ⅰ)求圓的方程；
（Ⅱ）若直線與圓相交于兩點(diǎn)且，求直線的方程．

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