Question

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，分別是棱、的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別與棱、交于點(diǎn)，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：

（1）平面與平面所成角的最大值為；

（2）四邊形的面積的最小值為；

（3）四棱錐的體積為；

（4）點(diǎn)到平面的距離的最大值為，

其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

由兩平面所成角的余弦公式即面積射影公式，計(jì)算可得所求最大值，可判斷（1）；

由四邊形為菱形，計(jì)算面積，考慮的最小值，可判斷（2）；

由棱錐的等體積法，計(jì)算可判斷（3）；

由等體積法和函數(shù)的性質(zhì)可判斷（4）；

對(duì)于（1），由面面平行的性質(zhì)定理可得，可得四邊形為平行四邊形，又直角梯形和直角梯形全等，可得,即有四邊形為菱形，且，由平面在底面上的射影為四邊形，

由面積射影公式可得

由，可得，可得平面與平面所成角的最大值不為，故（1）錯(cuò)；

對(duì)于（2），由，可得菱形的面積的最小值為

故（2）正確；

對(duì)于（3），因?yàn)樗睦忮F的體積為

，故（3）正確；

對(duì)于（4）

設(shè)到平面的距離為，可得

，

可得 ，（其中），當(dāng)即時(shí)，

取得最大值，故（4）正確；

故選：C