【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M,且橢圓E上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為.
(Ⅰ)證明直線AB恒過定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求三角形ABM的面積的最大值.
【答案】(1)直線恒過定點(diǎn).(2)
【解析】試題分析:利用設(shè)而不求思想設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),首先考慮 直線斜率不存在的情況,然后研究直線斜率存在的一般情況,設(shè)出直線斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,代入整理后寫出根與系數(shù)關(guān)系,根據(jù)MA、MB的斜率之積為,代入,解出,得出直線過定點(diǎn),第二步聯(lián)立方程組后利用判別式大于零,求出k的范圍,表示三角形的面積,利用基本不等式求出最值 .
試題解析:
解:(Ⅰ)由橢圓的方程得,上頂點(diǎn),記 由題意知, ,若直線的斜率不存在,則直線的方程為,故,且,因此,與已知不符,因此直線的斜率存在,設(shè)直線: ,代入橢圓的方程得: ………①
因?yàn)橹本與曲線有公共點(diǎn),所以方程①有兩個非零不等實(shí)根,
所以,
又, ,
由 ,得
即
所以
化簡得: ,故或,
結(jié)合知,
即直線恒過定點(diǎn).
(Ⅱ)由且得: 或,
又
,當(dāng)且僅當(dāng),即 時, 的面積最大,最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,△BCD是正三角形,AB=AD=1,∠BAD=θ.
(Ⅰ)將四邊形ABCD的面積S表示成關(guān)于θ的函數(shù);
(Ⅱ)求S的最大值及此時θ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】猜商品的價格游戲, 觀眾甲: 主持人:高了! 觀眾甲: 主持人:低了! 觀眾甲: 主持人:高了! 觀眾甲: 主持人:低了! 觀眾甲: 主持人:低了! 則此商品價格所在的區(qū)間是 ( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對給定的正數(shù),若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②在上的值域?yàn)?/span>,則稱區(qū)間為的級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 函數(shù)()存在1級“理想?yún)^(qū)間”
B. 函數(shù)()不存在2級“理想?yún)^(qū)間”
C. 函數(shù)()存在3級“理想?yún)^(qū)間”
D. 函數(shù), 不存在4級“理想?yún)^(qū)間”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且兩坐標(biāo)系有相同的長度單位.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 是曲線: 上任意一點(diǎn),點(diǎn)滿足,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),且直線與曲線交于, 兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設(shè)函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標(biāo)方程為),圓的參數(shù)方程為: (其中為參數(shù)).
(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系;
(2)若橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行,某一時刻,甲船在最前面的點(diǎn)處,乙船在中間點(diǎn)處,丙船在最后面的點(diǎn)處,且.一架無人機(jī)在空中的點(diǎn)處對它們進(jìn)行數(shù)據(jù)測量,在同一時刻測得, .(船只與無人機(jī)的大小及其它因素忽略不計(jì))
(1)求此時無人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比;
(2)若此時甲、乙兩船相距100米,求無人機(jī)到丙船的距離.(精確到1米)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是直線上任意一點(diǎn),過作,線段的垂直平分線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡對應(yīng)的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn),( 點(diǎn)在軸上方),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,且,求的外接圓的方程.
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