在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（－1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在，且點的坐標為.

解析試題分析：(1)本題只要直接設出動點的坐標為，用表示出已知條件，即可求出所求軌跡方程；（2）此問題存在性問題，解決的方法是假設這個點存在，然后根據已知條件去求這個點，若能求出，則存在，若求不出，則不存在在．即設存在題設的點，其坐標為，然后求出的坐標，進而求出和，令＝，求．當然考慮到△PAB與△PMN有一對對頂角，也可這樣求三角形的面積：，，由于，所以由＝，得，也即，這個式子可很快求出．
試題解析：（1）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為，
設點的坐標為由題意得 ，化簡得：.
故動點的軌跡方程為：             4分
（2）解法一：設點P的坐標為，點M，N的坐標為，
則直線AP的方程為，直線BP的方程為，
令，得，．
于是的面積是，
又直線AB的方程為，，點P到直線AB的距離，
于是的面積
當＝時，，
又，∴，解得，
又，∴，
故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時P點坐標為．
解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為
則.
因為, 所以，
所以 即，解得．
因為，所以故存在點

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中、是過拋物線焦點的兩條弦，且其焦點，，點為軸上一點，記，其中為銳角．

（1）求拋物線方程；
（2）如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小，求的大小？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點（，是常數(shù)），且動點到軸的距離比到點的距離小.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）（i）已知點，若曲線上存在不同兩點、滿足，求實數(shù)的取值范圍；
（ii）當時，拋物線上是否存在異于、的點，使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線，當直線都與圓相切時，求P點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，為坐標原點，動直線與
拋物線交于不同兩點
（1）求證:·為常數(shù)；
（2）求滿足的點的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線，求曲線過點的切線方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點
（1）求橢圓的方程；
（2）設不過原點O的直線與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列，
求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線：．過點的直線交于兩點．拋物線在點處的切線與在點處的切線交于點．

(Ⅰ)若直線的斜率為1，求；
(Ⅱ)求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點，設的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

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