Question

【題目】已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)（是圓心），點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線經(jīng)過(guò)，與拋物線交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)．當(dāng)以為直徑的圓經(jīng)過(guò)時(shí)，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)，,這樣，轉(zhuǎn)化為橢圓的定義，根據(jù)定義寫(xiě)出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，斜率存在時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，然后根據(jù)以為直徑的圓經(jīng)過(guò)時(shí)，有，代入坐標(biāo)關(guān)系，最后根據(jù)直線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求，最后代入拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式．

試題解析：解：（I）由題意得，F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|，

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，

∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓

其中長(zhǎng)軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，則短半軸b=，

∴橢圓方程為：

（Ⅱ）當(dāng)直線l 與x軸垂直時(shí)，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），

此時(shí)，所以以B1B2為直徑的圓不經(jīng)過(guò)F1．不滿足條件．

當(dāng)直線l 不與x軸垂直時(shí)，設(shè)L：y=k（x﹣1）

由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個(gè)交點(diǎn)．

設(shè)B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2=，x1x2=，

因?yàn)橐訠1B2為直徑的圓經(jīng)過(guò)F1，所以，又F1（﹣1，0）

所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0

所以解得k2=，

由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

因?yàn)橹本�l 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k≠0，

設(shè)A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：，x3x4=1

所以．