Question

17．已知拋物線y²=2px（p＞0），四邊形ABCD內(nèi)接于拋物線，如圖所示．
（Ⅰ）若直線AB，CD，BC，AD的斜率均存在，分別記為k₁，k₂，k₃，k₄，求證：$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{1}{k_3}+\frac{1}{k_4}$；
（Ⅱ）若直線AB，AD的斜率互為相反數(shù)，且弦AC⊥x軸，求證：直線BD與拋物線在點C處的切線平行．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)，利用直線斜率公式分別求出k₁，k₂，k₃，k₄，進行計算即可．
（Ⅱ）根據(jù)直線AB，AD的斜率互為相反數(shù)，求出拋物線在C出的切線斜率，根據(jù)直線平行的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ） 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
同理：k₂=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
故$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}}{2p}$，
同理：$\frac{1}{{k}_{3}}+\frac{1}{{k}_{4}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}+{y}_{4}}{2p}$，
故$\frac{1}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{{k}_{3}}+\frac{1}{{k}_{4}}$，
從而得證．
（Ⅱ） 證明：由AC⊥x軸，有x₁=x₃，y₁=-y₃，
設(shè)以C為切點的切線斜率為k，則其方程為y+y₁=k（x-x₁），
代入 y²=2px，
得${k^2}{x^2}-2（{k^2}{x_1}+k{y_1}+p）x+{（k{x_1}+{y_1}）^2}=0$
∴$△=4{（{k^2}{x_1}+k{y_1}+p）^2}-4{k^2}{（k{x_1}+{y_1}）^2}=0$得，
k²x₁+ky₁+$\frac{p}{2}$=0，
而y₁²=2px₁，
∴k=$-\frac{p}{{y}_{1}}$；                                               
由若直線AB，AD的斜率互為相反數(shù)，
則有$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$=0，
∴2y₁+y₂+y₄=0，
則k_BD=$\frac{2P}{{y}_{2}+{y}_{4}}=\frac{2p}{-2{y}_{1}}$=$-\frac{p}{{y}_{1}}$；
∴k_BD=k，
而點C不在BD上，
∴直線BD平行于點C處的切線．

點評 本題主要考查直線和拋物線的關(guān)系，根據(jù)直線斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算能力．綜合性較強，難度較大．