Question

【題目】設(shè)函數(shù) (k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f (x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）定義域?yàn)?0，＋∞)，求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，并因式分解得，由于k≤0，所以，只有一解x=2.

(2)由(1)知，k≤0時(shí)，函數(shù)f (x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減，故f (x)在(0，2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

再考慮k>0時(shí)， ，由于，只需分析g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)的零點(diǎn)情況。對(duì)g(x)求導(dǎo)分析，g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，再分0＜k≤1和k＞1討論即可求。

試題解析：

函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)?0，＋∞).

由k≤0可得ex－kx＞0，

所以當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f (x)單調(diào)遞減，

x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f (x)單調(diào)遞增.

所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞).

(2)由(1)知，k≤0時(shí)，函數(shù)f (x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減，

故f (x)在(0，2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞).

因?yàn)間′(x)＝ex－k＝ex－eln k，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，

當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)單調(diào)遞增.

故f (x)在(0，2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)k＞1時(shí)，得x∈(0，ln k)時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞減.

x∈(ln k，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(ln k)＝k(1－ln k).

函數(shù)f (x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)解得e＜k＜，

綜上所述，函數(shù)f (x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為.