Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點(diǎn)P與點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最大值為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，設(shè)點(diǎn)P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），可得|PQ|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（sinθ+2）^{2}}$=$\sqrt{-3（sinθ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{28}{3}}$，即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，設(shè)點(diǎn)P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），
則|PQ|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（sinθ+2）^{2}}$=$\sqrt{-3si{n}^{2}θ+4sinθ+8}$=$\sqrt{-3（sinθ-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{28}{3}}$≤$\sqrt{\frac{28}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最大值為$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓參數(shù)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．