Question

已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的集合：
①f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在f（x）的定義域存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]．
試判斷下列函數(shù)：f（x）=2^x，g（x）=log₂x，h（x）=x

1

2

是否屬于集合M？并說明理由，若是，則請(qǐng)說出區(qū)間[a，b]．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和值域之間的關(guān)系建立條件關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)f（x）=2^x，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
若在f（x）的定義域存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]．
則

f(a)=2a= a 2 f(b)=2b= b 2

，
即a，b是方程2^x=

x

2

的兩個(gè)根，
由數(shù)形結(jié)合可知方程2^x=

x

2

無解，故不存在滿足條件的區(qū)間[a，b]．
（2）當(dāng)g（x）=log₂x，函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
若在g（x）的定義域存在區(qū)間[a，b]，使得g（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]．
則

g(a)=log2a= a 2 g(b)=log2b= b 2

，
即a，b是方程log₂x=

x

2

的兩個(gè)根，
∵x=2和x=4是方程log₂x=

x

2

的根，
故a=2，b=4時(shí)滿足條件，即存在滿足條件的區(qū)間[2，4]．
（3）當(dāng)h（x）=x

1

2

，則h（x）為增函數(shù)，
∴滿足條件①；
假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，使得h（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，
則

f(a)= a = a 2 f(b)= b = b 2

，
∴當(dāng)a=0，b=4，滿足條件②；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的判定和值域的求解，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．