Question

【題目】已知函數(shù) 在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）已知a＞1，b＞0，證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為 ，
因為函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以 ≥0在（1，+∞）上恒成立，
即 在（1，+∞）上恒成立，
所以只需 ，
又因為a＞0，所以a≥1．
（Ⅱ）因為x∈[0，+∞），所以 ，
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．
（Ⅲ）證明：因為a＞1，b＞0，所以 ，由（Ⅰ）知 在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以 ，即 ，化簡得 ，又因為 ，
由第（Ⅱ）問可知 ，即 ，
綜上 得證
【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)，由題意可知 ≥0在（1，+∞）上恒成立，則即可求得a的取值范圍；（Ⅱ）由 ，則g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，求得g（x）最大值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知 在（1，+∞）上是增函數(shù)，則 ，化簡得 ，由（Ⅱ）可知 ，即 ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．