Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=1，試判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a∈（1，3）時，求證函數(shù)f（x）存在反函數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可，
（2）經(jīng)討論去絕對值寫成分段函數(shù)，也就是化簡解析式，然后分別利用導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)判斷在不同區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而判定函數(shù)在[1，6]的單調(diào)性，也就是x→y一一對應(yīng)，則對于任意y，都有唯一確定的x與之對應(yīng)，必存在反函數(shù)．

解答： 解：（1）判斷：若a=1，函數(shù)f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

，在[1，6]上是增函數(shù)．（2分）
證明：在區(qū)間[1，6]上任取x₁，x₂，設(shè)x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

9

x1

）（x₂-

9

x2

）=（x₁-x₂）-（

9

x1

-

9

x2

）=

(x1-x2)(x1x2+9)

x1x2

＜0
則f（x₁ ）＜f（x₂），即f（x）在[1，6]上是增函數(shù)．（6分）
（2）因為1＜a＜3，所以f（x）=

2a-(x+ 9 x ) ，   1≤x≤a  x- 9 x    ，          a＜x≤6

                  （8分）
當(dāng)1＜a＜3時，若1≤x≤a，f（x）=2a-（x+

9

x

），f′（x）=

9

x2

-1，
∵1＜a＜3，1≤x≤a，
∴1≤x＜9，
∴f′（x）=

9

x2

-1＞0，
∴f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，（9分）
又∵f（x）在[a，6]上也是增函數(shù)，
∴y=f（x）在[1，6]上是增函數(shù)．（11分）               
所以任意一個x∈[1，6]，均能找到唯一的y和它對應(yīng)，（12分）
所以y=f（x），x∈[1，6]時，函數(shù)f（x）存在反函數(shù)                    （14分）

點評：本題第一問要注意定義法的步驟：取值、做差、變形、判號、下結(jié)論．第二問最重要的是體會反函數(shù)存在的條件即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，也就是一一對應(yīng)，才能保證在求反函數(shù)時滿足函數(shù)成立的條件，也就是對于定義域內(nèi)任意一自變量，都有唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng)．