Question

4．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中俯視圖是菱形，正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，已知M為BC上一點，且BM=$\frac{1}{2}$，PA⊥PM．
（1）求四棱錐P-ABCD的高；
（2）設(shè)點E、F分別在棱PA、PD上，且$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PF}{PD}$=λ，若四棱錐M-AEFD與P-ABCD的體積之比為$\frac{1}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）畫出幾何體的直觀圖，結(jié)合已知三視圖可得OA=OC=$\sqrt{3}$，OB=OD=1，BM=$\frac{1}{2}$，∠OBC=∠OBA=60°，結(jié)合余弦定理和勾股定理，可求出四棱錐P-ABCD的高；
（2）三棱錐M-PAD，即棱錐P-ADM的體積等于棱錐P-ABCD的體積的$\frac{1}{2}$，若四棱錐M-AEFD與P-ABCD的體積之比為$\frac{1}{3}$，則四棱錐M-AEFD與M-PAD的體積之比為$\frac{2}{3}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）四棱錐P-ABCD的直觀圖如下圖所示：
由三視圖可得：OA=OC=$\sqrt{3}$，OB=OD=1，BM=$\frac{1}{2}$，
則∠OBC=∠OBA=60°，
設(shè)四棱錐P-ABCD的高PO=a，
則AM=$\sqrt{{AB}^{2}+{BM}^{2}-2AB•BM•cos∠ABM}$=$\sqrt{4+\frac{1}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
PA=$\sqrt{{PO}^{2}+{OA}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+3}$，
OM=$\sqrt{{OB}^{2}+{BM}^{2}-2OB•BM•cos∠OBM}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
PM=$\sqrt{{PO}^{2}+{OM}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵PA⊥PM，
∴PA²+PM²=AM²，即$2{a}^{2}+3\frac{3}{4}=\frac{21}{4}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即四棱錐P-ABCD的高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）三棱錐M-PAD，即棱錐P-ADM的體積等于棱錐P-ABCD的體積的$\frac{1}{2}$，
四棱錐M-AEFD與三棱錐M-PAD同高，
若四棱錐M-AEFD與P-ABCD的體積之比為$\frac{1}{3}$，
則四棱錐M-AEFD與M-PAD的體積之比為$\frac{2}{3}$，
即梯形AEFD的面積是△PAD面積的$\frac{2}{3}$，
則△PEF的面積是△PAD面積的$\frac{1}{3}$
又由$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PF}{PD}$=λ，
故${λ}^{2}=\frac{1}{3}$，
解得：$λ=\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．