Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且對(duì)任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i+j=k+l時(shí)都有a_i+b_j=a_k+b_l，則

1

2014

2014

i=1

（a_i+b_i）的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對(duì)任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i+j=k+l時(shí)都有a_i+b_j=a_k+b_l，反復(fù)運(yùn)用它，求出數(shù)列的前5項(xiàng)，歸納得到數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列{a_n+b_n}的通項(xiàng)公式，得到該數(shù)列為等差數(shù)列，求其前2014項(xiàng)和的平均數(shù)得答案．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，b₁=2，
又當(dāng)i+j=k+l時(shí)都有a_i+b_j=a_k+b_l，
由此得到a₃=3，a₄=4，a₅=5，
b₂=3，b₃=4，b₄=5，b₅=6．
歸納得：a_n=n，b_n=n+1，
∴a_n+b_n=2n+1，
及數(shù)列{a_n+b_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
則

1

2014

2014

i=1

（a_i+b_i）=

1

2014

•

2014(3+4029)

2

=2016．
故答案為：2016．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，解答此題的關(guān)鍵在于由已知?dú)w納得到數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，是中檔題．